数学悖论与三次数学危机

说起数学历史，就不得不说数学悖论与三次数学危机。通过了解这三个在数学发展中产生了巨大影响的悖论(毕达哥拉斯悖论、贝克莱悖论、罗紊悖论)的介绍，让读者既能充分了解悖论对数学发展所起到的巨大作用，又能对数学中欧几里得几何、无理数、微积分、集合论等的来龙去脉获得更清晰的认识。果这一悖论涉及面十分广泛的话，这种冲击波会更为强烈，由此导致的怀疑还会引发人们认识上的普遍危机感。

数学悖论与三次数学危机

“……古往今来，为数众多的悖论为逻辑思想的发展提供了食粮。”——N·布尔巴基

什么是悖论?笼统地说，是指这样的推理过程：它看上去是合理的，但结果却得出了矛盾。悖论在很多情况下表现为能得出不符合排中律的矛盾命题：由它的真，可以推出它为假;由它的假，则可以推出它为真。由于严格性被公认为是数学的一个主要特点，因此如果数学中出现悖论会造成对数学可靠性的怀疑。如果这一悖论涉及面十分广泛的话，这种冲击波会更为强烈，由此导致的怀疑还会引发人们认识上的普遍危机感。在这种情况下，悖论往往会直接导致“数学危机”的产生。按照西方习惯的说法，在数学发展史上迄今为止出现了三次这样的数学危机。

希帕索斯悖论与第一次数学危机

希帕索斯悖论的提出与勾股定理的发现密切相关。因此，我们从勾股定理谈起。勾股定理是欧氏几何中最著名的定理之一。天文学家开普勒曾称其为欧氏几何两颗璀璨的明珠之一。它在数学与人类的实践活动中有着极其广泛的应用，同时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。在我国，最早的一部天文数学著作《周髀算经》中就已有了关于这一定理的初步认识。不过，在我国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。一直到三国时期的赵爽才用面积割补给出它的第一种证明。

在国外，最早给出这一定理证明的是古希腊的毕达哥拉斯。因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理”。并且据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂，而杀牛百只以示庆贺。因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号：“百牛定理”。

毕达哥拉斯

毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢?他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的!可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了!这应该是多么违反常识，多么荒谬的事!它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。

欧多克索斯

二百年后，大约在公元前370年，才华横溢的欧多克索斯建立起一套完整的比例论。他本人的著作已失传，他的成果被保存在欧几里德《几何原本》一书第五篇中。欧多克索斯的巧妙方法可以避开无理数这一“逻辑上的丑闻”，并保留住与之相关的一些结论，从而解决了由无理数出现而引起的数学危机。但欧多克索斯的解决方式，是借助几何方法，通过避免直接出现无理数而实现的。这就生硬地把数和量肢解开来。在这种解决方案下，对无理数的使用只有在几何中是允许的，合法的，在代数中就是非法的，不合逻辑的。或者说无理数只被当作是附在几何量上的单纯符号，而不被当作真正的数。一直到18世纪，当数学家证明了基本常数如圆周率是无理数时，拥护无理数存在的人才多起来。到十九世纪下半叶，现在意义上的实数理论建立起来后，无理数本质被彻底搞清，无理数在数学园地中才真正扎下了根。无理数在数学中合法地位的确立，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。

贝克莱悖论与第二次数学危机

第二次数学危机导源于微积分工具的使用。伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌。但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。

贝克莱主教

1734年，贝克莱以“渺小的哲学家”之名出版了一本标题很长的书《分析学家;或一篇致一位不信神数学家的论文，其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘、信仰的要点有更清晰的表达，或更明显的推理》。在这本书中，贝克莱对牛顿的理论进行了攻击。例如他指责牛顿，为计算比如说 x2 的导数，先将 x　取一个不为0的增量 Δx ，由 (x + Δx)2 - x2 ，得到 2xΔx + (Δx2) ，后再被 Δx 除，得到2x + Δx ，最后突然令 Δx = 0 ，求得导数为 2x 。这是“依靠双重错误得到了不科学却正确的结果”。因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说是零，一会儿又说不是零。因此，贝克莱嘲笑无穷小量是“已死量的幽灵”。贝克莱的攻击虽说出自维护神学的目的，但却真正抓住了牛顿理论中的缺陷，是切中要害的。

数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论”。笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0。但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。这一问题的提出在当时的数学界引起了一定的混乱，由此导致了第二次数学危机的产生。

牛顿与莱布尼兹

针对贝克莱的攻击，牛顿与莱布尼兹都曾试图通过完善自己的理论来解决，但都没有获得完全成功。这使数学家们陷入了尴尬境地。一方面微积分在应用中大获成功，另一方面其自身却存在着逻辑矛盾，即贝克莱悖论。这种情况下对微积分的取舍上到底何去何从呢?

“向前进，向前进，你就会获得信念!”达朗贝尔吹起奋勇向前的号角，在此号角的鼓舞下，十八世纪的数学家们开始不顾基础的不严格，论证的不严密，而是更多依赖于直观去开创新的数学领地。于是一套套新方法、新结论以及新分支纷纷涌现出来。经过一个多世纪的漫漫征程，几代数学家，包括达朗贝尔、拉格朗日、贝努力家族、拉普拉斯以及集众家之大成的欧拉等人的努力，数量惊人前所未有的处女地被开垦出来，微积分理论获得了空前丰富。18世纪有时甚至被称为“分析的世纪”。然而，与此同时十八世纪粗糙的，不严密的工作也导致谬误越来越多的局面，不谐和音的刺耳开始震动了数学家们的神经。下面仅举一无穷级数为例。

无穷级数S=1-1+1-1+1………到底等于什么?

当时人们认为一方面S=(1-1)+(1-1)+………=0;另一方面，S=1+(1-1)+(1-1)+………=1，那么岂非0=1?这一矛盾竟使傅立叶那样的数学家困惑不解，甚至连被后人称之为数学家之英雄的欧拉在此也犯下难以饶恕的错误。他在得到

1 + x + x2 + x3 + ..... = 1/(1- x)

后，令 x = -1，得出

S=1-1+1-1+1………=1/2!

由此一例，即不难看出当时数学中出现的混乱局面了。问题的严重性在于当时分析中任何一个比较细致的问题，如级数、积分的收敛性、微分积分的换序、高阶微分的使用以及微分方程解的存在性……都几乎无人过问。尤其到十九世纪初，傅立叶理论直接导致了数学逻辑基础问题的彻底暴露。这样，消除不谐和音，把分析重新建立在逻辑基础之上就成为数学家们迫在眉睫的任务。到十九世纪，批判、系统化和严密论证的必要时期降临了。

柯西

使分析基础严密化的工作由法国著名数学家柯西迈出了第一大步。柯西于1821年开始出版了几本具有划时代意义的书与论文。其中给出了分析学一系列基本概念的严格定义。如他开始用不等式来刻画极限，使无穷的运算化为一系列不等式的推导。这就是所谓极限概念的“算术化”。后来，德国数学家魏尔斯特拉斯给出更为完善的我们目前所使用的“ε-δ ”方法。另外，在柯西的努力下，连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立在了较坚实的基础上。不过，在当时情况下，由于实数的严格理论未建立起来，所以柯西的极限理论还不可能完善。

柯西之后，魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过自己独立深入的研究，都将分析基础归结为实数理论，并于七十年代各自建立了自己完整的实数体系。魏尔斯特拉斯的理论可归结为递增有界数列极限存在原理;戴德金建立了有名的戴德金分割;康托尔提出用有理“基本序列”来定义无理数。1892年，另一个数学家创用“区间套原理”来建立实数理论。由此，沿柯西开辟的道路，建立起来的严谨的极限理论与实数理论，完成了分析学的逻辑奠基工作。数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾性，从而使微积分学这座人类数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之上。重建微积分学基础，这项重要而困难的工作就这样经过许多杰出学者的努力而胜利完成了。微积分学坚实牢固基础的建立，结束了数学中暂时的混乱局面，同时也宣布了第二次数学危机的彻底解决。

罗素悖论与第三次数学危机

十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“………借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……”

康托尔

可是，好景不长。1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的!这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。

罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问：S是否属于S呢?根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定的集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S;反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。无论如何都是矛盾的。

罗素

其实，在罗素之前集合论中就已经发现了悖论。如1897年，布拉利和福尔蒂提出了最大序数悖论。1899年，康托尔自己发现了最大基数悖论。但是，由于这两个悖论都涉及集合中的许多复杂理论，所以只是在数学界揭起了一点小涟漪，未能引起大的注意。罗素悖论则不同。它非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。如G.弗雷格在收到罗素介绍这一悖论的信后伤心地说：“一个科学家所遇到的最不合心意的事莫过于是在他的工作即将结束时，其基础崩溃了。罗素先生的一封信正好把我置于这个境地。”戴德金也因此推迟了他的《什么是数的本质和作用》一文的再版。可以说，这一悖论就象在平静的数学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机。

危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾;另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”1908年，策梅罗在自已这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来经其他数学家改进，称为ZF系统。这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺伊曼等人提出的NBG系统等。公理化集合系统的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派，而各派的工作又都促进了数学的大发展等等。

以上简单介绍了数学史上由于数学悖论而导致的三次数学危机与度过，从中我们不难看到数学悖论在推动数学发展中的巨大作用。有人说：“提出问题就是解决问题的一半”，而数学悖论提出的正是让数学家无法回避的问题。它对数学家说：“解决我，不然我将吞掉你的体系!”正如希尔伯特在《论无限》一文中所指出的那样：“必须承认，在这些悖论面前，我们目前所处的情况是不能长期忍受下去的。人们试想：在数学这个号称可靠性和真理性的模范里，每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构和推理方法竟会导致不合理的结果。如果甚至于数学思考也失灵的话，那么应该到哪里去寻找可靠性和真理性呢?”悖论的出现逼迫数学家投入最大的热情去解决它。而在解决悖论的过程中，各种理论应运而生了：第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生;第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立;第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。数学由此获得了蓬勃发展，这或许就是数学悖论重要意义之所在吧。

数学悖论与三次数学危机

新书试读《数学悖论与三次数学危机》

第12章 走向无穷

初中毕业升入高一级学校后，人们会发现自己所学的第一个数学概念都是：集合。研究集合的数学理论在现代数学中称为集合论。它是数学的一个分支，但在数学中却占有极其独特的地位，其基本概念已渗透到数学的几乎所有领域。如果把现代数学比作一座无比辉煌的大厦，那么可以说集合论正是构筑这座大厦的基石。集合论的统治地位已成为现代数学的一大特点，由此可见它在数学中的重要性。其创始人康托尔也以其集合论的成就，被誉为对20 世纪数学发展影响最深的数学家之一。

康托尔与集合论

康托尔于1845 年3 月3 日生于圣彼得堡，但一生中大部分时间是在德国度过的。15 岁以前他非凡的数学才能就已得到显现，由于对数学研究有一种着迷的兴趣，他决心成为数学家。但他讲求实际的父亲却非常希望他学工程学，因为工程师是更有前途谋生的职业。1860 年，在寄给康托尔的信中他写道：“盼望你的正是成为一位特奥多尔·金费尔，然后，如果上帝愿意，也许成为工程学天空的一颗闪光的星星。”可怜天下父母心!他们总以自己的意愿为孩子设计未来，却往往不去考虑自己的孩子适合干什么。什么时候父母们才会了解让天生的赛马去拉车的专横愚蠢呢?

值得庆幸的是，康托尔的父亲后来看到自己强加于儿子的意愿所造成的危害，他让步了。17 岁的康托尔以优异的成绩完成中学学业时得到父亲的允许，上大学学习数学。激动的康托尔给父亲回信：“你自己也能体会到你的信使我多么高兴。这封信确定了我的未来……现在我很幸福，因为我看到如果我按照自己的感情选择，不会使你不高兴。我希望你能活到在我身上找到乐趣，亲爱的父亲;从此以后我的灵魂，我整个人，都为我的天职活着;一个人渴望做什么，凡是他的内心强制他去做的，他就会成功!”后来事情的发展表明，数学应当感激这位父亲的明智做法。

1862 年，康托尔进入苏黎世大学，1863 年转入柏林大学。在此，他曾师从魏尔斯特拉斯与克罗内克。很遗憾，后来克罗内克与康托尔因数学观点的差异而反目成仇。

1867 年，康托尔获得博土学位，并开始步入数学研究行列。当时的数学界正进行着重建微积分基础的运动，康托尔也很快将自己的研究转向这一方向。在工作中，他探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端。

1872 年，康托尔在瑞士旅游中偶遇数学家戴德金。两人后来成为亲密的朋友，彼此通过信件交流，互相支持。

1874 年，29 岁的康托尔发表了关于集合论的第一篇革命性论文。这篇论文标志着数学天空中升起了一颗有着非凡独创力的数学新星。

随后的十几年是他最富创造力的一段时间，他独自一人把集合论推向深入。在他最伟大、最有创见的创造时期，他本来完全可以获得期待已久的德国最高荣誉——取得柏林大学教授职位，然而他的这一抱负却一直没有实现。他活跃的专业生涯是在哈雷大学度过的，这是一所独特的、二流的、薪金微薄的学院。原因在于，他一系列的伟大成果不但未能赢得赞赏，反而招致了猛烈的攻击与反对。他的主要论敌正是柏林大学的克罗内克——他以前的老师。克罗内克把康托尔的工作看作一类危险的数学疯狂。他认为数学在康托尔的领导下正在走向疯人院，便热烈地致力于他所认为的数学真理，用他能够抓到的一切武器，猛烈地、恶毒地攻击“正确的无穷理论”和它的过于敏感的作者。如果说克罗内克在科学论战上是一个最有能力的斗士，那么康托尔就是一个最无能的战士。于是悲剧的结局不是集合论进了疯人院，而是康托尔进了疯人院。1884 年春，40 岁的康托尔经历了他的第一次精神崩溃，在他长寿一生的随后岁月中，这种崩溃以不同的强度反复发生，把他从社会上赶进精神病院这个避难所。1904年，在两个女儿的陪同下，他出席了第三次国际数学家大会。会上，他在精神受到强烈的刺激，立即被送进医院。在他生命的最后十年，他大都处于严重抑郁状态中，并在哈雷大学的精神病诊所度过了漫长的岁月。他最后一次住进精神病院是1917 年5月，直到1918 年1 月去世。

在讲述了主人公悲惨的故事后，下面我们转向他的伟大作品——集合论。

在学习集合的内容时，我们通常是按照从集合概念开始，随后引入属于、包含的定义，以及集合的并、交等运算这样的顺序进行的。但康托尔创建集合论的历程却与此完全不同。

康托尔是在研究“函数的三角级数表达式的唯一性问题”的过程中，先是涉及无穷点集，随后一步步地发展出一般集合概念，并把集合论发展成一门独立学科的。这一段历史再次告诉我们，抽象的数学概念往往来自于对具体数学问题的研究。

在上面，我们提到康托尔的理论在当时受到了猛烈攻击，一般读者会对此感到不解。因为我们所学习的有关集合的知识显得非常简单与自然。事实上，那只是集合论中最基本的知识。而“康托尔的不朽功绩在于他向无穷的冒险迈进”，因而只有当我们了解了康托尔在无穷集合的研究中究竟做了些什么后才会真正明白他工作的价值所在，也会明了众多反对之声的由来。

伽利略悖论

数学与无穷有着不解之缘，但研究无穷的道路上却布满了陷阱。在被誉为“无穷交响乐”的微积分的产生、发展历史中，我们已经对此有所领略。下面，我们将跟随康托尔踏上另一条同样充满着令人不解的悖论与困惑的无穷之路。

我们从一个问题开始：全体自然数与全体正偶数，谁包含的数更多?

一方面，我们任取一个自然数，只要让这个数乘以2，就一定有一个与之对应的正偶数，反之也成立。两者之间存在一一对应的关系。这样看来，似乎两者的元素个数应是相同的。另一方面，常识告诉我们：全体大于部分。既然所有的正偶数是在所有的自然数里去掉那些正奇数以后才得到的，理所当然的，作为全体的自然数要多于作为部分的正偶数。那么，究竟两者一样多呢，还是自然数多?

在历史上，人们曾多次被这类问题所困扰。公元5 世纪，拜占庭的普罗克拉斯是欧几里得《几何原本》的著名评述者。他在研究直径分圆问题时注意到，一根直径分圆成两部分，两根直径分圆成4 部分，n 根直径分圆成2n 部分。因此，由直径数目组成的无限集合与所分成的圆部分的数目组成的无限集合在元素上存在着一一对应的关系。但另一方面，从常识看，两者的数目看起来并不一样。普罗克拉斯的困境正是我们上面所提到的自然数全体与正偶数全体谁多的问题。

中世纪，又有人注意到，把两个同心圆上的点用公共半径联接起来，就构成两个圆上的点之间的一一对应关系。因为对于大圆上的任意一点，通过公共半径，总可找到小圆上的一点与它对应;反之，对于小圆上的任何一点，通过公共半径，总可找到大圆上的一点与它对应。这样分析，大小圆上的点应一样多。然而，常识会让人认为大小两圆上的点不可能是一样多的。

更为人所熟知的是伽利略提到的类似事实。在1636 年完成的著名著作《两门新科学的对话》一书中，伽利略注意到：所有自然数与自然数的平方可以建立一个一一对应关系。这似乎意味着：平方数与自然数一样多。然而，常识却告诉我们：自然数比平方数要多许多。这一矛盾通常称为“伽利略悖论”。

为了避免这类悖论的出现，人们采取了回避的态度。如伽利略在无法解释自己的发现后得出的结论是：因此我们不能说自然数构成一个集合。也就是说，他的解决方案是：否认“自然数全体”这类说法，即否认实无限的存在。因为承认会导致不合常识的悖论。确实，通过前面的许多介绍，我们对人类在解决问题中经常会使用的这种方法不再陌生。当人们面对无法解决的问题时，一种类似条件反射的解决方案就是：回避它。只有在完全无法回避的时候，才有人能够突破旧的观念，提出解决问题的新方案。

在伽利略提出他的悖论两个多世纪以后，康托尔重新考虑了这个似乎陷入逻辑死胡同的二难推理问题。事实上，问题的焦点集中在：整体一定大于部分。对实无限的肯定被这一观念的巨石挡住了。怎么办?难道我们不能反其道而行之吗?只要我们接受“部分能够等于整体”的观点，不就解决问题了吗?如果接受了这一新观念，那么实无限的观念也就扫清了障碍。看上去，似乎解决问题之道也并不难。真得不难吗?只要想想历史上人类为了迈出这一步，花费了多长时间就会明白，要更新一个旧观念是何等困难的事情。

“可以通过一一对应的方法来比较两个集合的元素多少;实无限是一个确实的概念。”

康托尔依据这两个基本前提，以一种貌似天真的方法，颠覆了前人传统的观念，创立了最令人兴奋和意义十分深远的理论。这一理论引领我们进入了一个难以捉摸的奇特世界。

内容简介：本书介绍数学中的三大悖论(毕达哥拉斯悖论、贝克莱悖论、罗素悖论)与三次数学危机，以时间为序，以环环相扣的数学家轶事为纲，带大家了解数学发展史，理解悖论的巨大作用，以及认识欧几里得几何、无理数、微积分、集合论等的来龙去脉。书中穿插大量数学家的逸事，融知识性与趣味性于一体。本书这一版专门添加附录介绍了哥德尔证明。

数学悖论与三次数学危机

图书目录编辑

第1编 毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机

第一章 几何定理中的“黄金”：勾股定理

第一节 古老的定理

第二节 勾股定理的广泛应用及其地位

第二章 秘密结社：毕达哥拉斯与毕达哥拉斯学派

第一节 智慧之神：毕达哥拉斯

第二节 毕达哥拉斯学派的数学发现

第三节 毕达哥拉斯学派的数学思想

第四节 勾股定理证法赏析

第三章 风波乍起：第一次数学危机的出现

第一节 毕达哥拉斯悖论

第二节 第一次数学危机

第三节 根号2是无理数的证明

第四章 绕过暗礁：第一次数学危机的解决

第一节 欧多克索斯的解决方案

第二节 同途殊归：古代中国的无理数解决方案

第五章 福祸相依：第一次数学危机的深远影响

第一节 第一次数学危机对数学思想的影响

第二节 欧几里得和《几何原本》

第三节 第一次数学危机的负面影响

第2编 贝克莱悖论与第二次数学危机

第一章 风起清萍之末：微积分之萌芽

第一节 古希腊微积分思想

第二节 微积分在中国

第二章 积微成著：逼近微积分

第一节 蛰伏与过渡

第二节 半个世纪的酝酿

第三章 巨人登场：微积分的发现

第一节 牛顿与流数术

第二节 莱布尼兹与微积分

第三节 巨人相搏

第四章 风波再起：第二次数学危机的出现

第一节 贝克莱悖论与第二次数学危机

第二节 弥补漏洞的尝试

第五章 英雄时代：微积分的发展

第一节 数学英雄

第二节 分析时代

第六章 胜利凯旋：微积分的完善

第一节 分析注入严密性

第二节 分析的算术化

第3编 罗素悖论与第三次数学危机

第一章 走向无穷

第一节 康托尔与集合论

第二节 康托尔的难题

第二章 数学伊甸园

第一节 反对之声

第二节 赞誉与影响

第三章 一波三折：第三次数学危机的出现

第一节 罗素悖论与第三次数学危机

第二节 悖论分析与解决途径

第四章 兔、蛙、鼠之战

第一节 逻辑主义

第二节 直觉主义

第三节 形式主义

第五章 新的转折

第一节 哥德尔的发现

第二节 数理逻辑的兴起与发展