证明黎曼猜想有什么用 黎曼猜想内容

最近英国数学家阿蒂亚宣布证明了困扰科学界一百多年的黎曼猜想，从而轰动一时!昨日黎曼猜想证明现场被直播了!可是证明黎曼猜想有什么用呢?黎曼猜想的用途是什么?为什么说黎曼猜想是最重要的数学猜想?首要的原因是黎曼猜想跟其它数学命题之间有着千丝万缕的联系。据统计，在今天的数学文献中已经有一千条以上的数学命题是以黎曼猜想(或其推广形式)的成立为前提的。

证明黎曼猜想有什么用

英国著名数学家迈克尔·阿蒂亚(SirMichaelFrancisAtiyah)爵士宣称用“简单”而“全新”的方法证明了黎曼猜想，将于9月24日在2018年度海德堡获奖者论坛上宣讲。迈克尔·阿蒂亚是菲尔兹奖和阿贝尔奖的双料得主，此言一出，引起不小轰动。

为什么说黎曼猜想是最重要的数学猜想?

1900年的一个夏日，两百多位最杰出的数学家在法国巴黎召开了一次国际数学家大会。会上，著名德国数学家希尔伯特作了一次题为“数学问题”的重要演讲。在演讲中，他列出了一系列在他看来最重要的数学难题。那些难题吸引了众多数学家的兴趣，并对数学的发展产生了深远影响。

一百年后的2000年，美国克雷数学研究所的数学家们也在法国巴黎召开了一次数学会议。会上，与会者们也列出了一些在他们看来最重要的数学难题。他们的声望虽无法与希尔伯特相比，但他们做了一件希尔伯特做不到的事情：为每个难题设立了一百万美元的巨额奖金。

科学人

黎曼猜想是一位名叫黎曼(BernhardRiemann)的数学家提出的。黎曼是一位英年早逝的德国数学家，出生于1826年，去世于1866年，享年还不到40岁。黎曼的一生虽然短暂，却对数学的很多领域都做出了巨大贡献，影响之广甚至波及到了物理。比如以他名字命名的“黎曼几何”不仅是重要的数学分支，而且成为了爱因斯坦(AlbertEinstein)创立广义相对论不可或缺的数学工具。

1859年，32岁的黎曼被选为了柏林科学院的通信院士。作为对这一崇高荣誉的回报，他向柏林科学院提交了一篇题为“论小于给定数值的素数个数”的论文。那篇只有短短八页的论文就是黎曼猜想的“诞生地”。

这两次遥相呼应的数学会议除了都在法国巴黎召开外，还有一个令人瞩目的共同之处，那就是在所列出的难题之中，有一个——并且只有一个——是共同的。

这个难题就是黎曼猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想。

为什么说黎曼猜想是最重要的数学猜想呢?是因为它非常艰深吗?不是。当然，黎曼猜想确实是非常艰深的，它自问世以来，已经有一个半世纪以上的历史。在这期间，许多知名数学家付出了艰辛的努力，试图解决它，却迄今没有人能够如愿。但是，如果仅仅用艰深来衡量的话，那么其它一些著名数学猜想也并不逊色。比如费尔玛猜想是经过三个半世纪以上的努力才被证明的;哥德巴赫猜想则比黎曼猜想早了一个多世纪就问世了，却跟黎曼猜想一样迄今屹立不倒。这些纪录无疑也都代表着艰深，而且是黎曼猜想也未必打得破的。

那么，黎曼猜想被称为最重要的数学猜想，究竟是什么原因呢?首要的原因是它跟其它数学命题之间有着千丝万缕的联系。据统计，在今天的数学文献中已经有一千条以上的数学命题是以黎曼猜想(或其推广形式)的成立为前提的。这表明黎曼猜想及其推广形式一旦被证明，对数学的影响将是十分巨大的，所有那一千多条数学命题就全都可以荣升为定理;反之，如果黎曼猜想被推翻，则那一千多条数学命题中也几乎无可避免地会有一部分成为陪葬。一个数学猜想与为数如此众多的数学命题有着密切关联，这在数学中可以说是绝无仅有的。

黎曼猜想的内容无法用完全初等的数学来描述。粗略地说，它是针对一个被称为黎曼ζ函数的复变量函数(即变量与函数值都可以在复数域中取值的函数)的猜想。黎曼ζ函数跟许多其它函数一样，在某些点上的取值为零，那些点被称为黎曼ζ函数的零点。在那些零点中，有一部分特别重要的被称为黎曼ζ函数的非平凡零点。黎曼猜想所猜测的是那些非平凡零点全都分布在一条被称为“临界线”的特殊直线上。

黎曼猜想直到今天仍然悬而未决(即既没有被证明，也没有被推翻)。不过，数学家们已经从分析和数值计算这两个不同方面入手，对它进行了深入研究。截至本文写作之时，在分析方面所取得的最强结果是证明了至少有40%的非平凡零点位于临界线上;而数值计算方面所取得的最强结果则是验证了前十万亿个非平凡零点全都位于临界线上。

其次，黎曼猜想与数论中的素数分布问题有着密切关系。而数论是数学中一个极重要的传统分支，被德国数学家高斯称为是“数学的皇后”。素数分布问题则又是数论中极重要的传统课题，一向吸引着众多数学家的兴趣。这种深植于传统的“高贵血统”也在一定程度上增加了黎曼猜想在数学家们心中的地位和重要性。

再者，一个数学猜想的重要性还有一个衡量标准，那就是在研究该猜想的过程中能否产生出一些对数学的其它方面有贡献的结果。用这个标准来衡量，黎曼猜想也是极其重要的。事实上，数学家们在研究黎曼猜想的过程中所取得的早期成果之一，就直接导致了有关素数分布的一个重要命题——素数定理——的证明。而素数定理在被证明之前，本身也是一个有着一百多年历史的重要猜想。

最后，并且最出人意料的，是黎曼猜想的重要性甚至越出了纯数学的范围，而“侵入”到了物理学的领地上。20世纪70年代初，人们发现与黎曼猜想有关的某些研究，居然跟某些非常复杂的物理现象有着显著关联。这种关联的原因直到今天也还是一个谜。但它的存在本身，无疑就进一步增加了黎曼猜想的重要性。

有这许多原因，黎曼猜想被称为最重要的数学猜想是当之无愧的。

困扰数学界159年的黎曼猜想被证明 会有什么意义

黎曼猜想困扰数学界159年

1859年，德国数学家黎曼发表了《论小于已知数的素数个数》论文。在文章中，黎曼定义了一个函数：黎曼ζ(zeta)函数，并推测，ζ函数会在某些点上取值为零，在这些点中，有些被称作是非平凡零点，这些非平凡零点都分布在一条特殊的直线上，这条直线通过实轴上的点(1/2，0)并和虚轴平行，非平凡零点的实数部分(实部)都是1/2。

这个推测也被称为黎曼猜想，即一种假说。提出一个假说似乎容易，但证明它却要花费极大的力气，这个假说困扰了数学界整整159年。

现在，被誉为本世纪最伟大数学家之一、也是菲尔兹奖和阿贝尔奖获得者的英国数学家迈克尔·阿蒂亚在预印本网站arxiv上公开了他证明黎曼假设(猜想)的预印本，并将在24日的海德堡桂冠论坛上以45分钟的演讲形式展示他的成果。

阿蒂亚能证明黎曼猜想吗?谁能证明阿蒂亚的证明是正确的?这些问题其实都是数学界的专业问题，需要专业人员来回答。但是，既往的事实和现今的情况都注定了，迄今黎曼猜想还是一个公说公有理、婆说婆有理的无解问题。

100多年来，有不少数学家提出，他们证明了黎曼猜想，但是，也总是有人指出了其中的错误。2008年7月2日，美国杨百翰大学的数学家XIAN-JIN LI也是在预印本网站arxiv上发表一篇论文，宣称证明了黎曼猜想。

但是，法国数学家阿兰·科纳和澳大利亚数学家陶哲轩(均为菲尔兹奖得主)，分别在Li证明的第29和20页发现了错误。

然而，也正如哥德巴赫猜想的证明历程一样，也有一些证明正在一步步走向问题的核心，并为最终证明黎曼猜想铺垫阶梯。

黎曼猜想认为所有素数都可以表示为一个函数，ζ(s)=0位于一条垂直直线上，ζ函数所有非平凡零点的直线也被称为临界线。但要证明这一点却困难重重，不过1个多世纪以来，也不乏重大发现。

例如，1974年美国数学家列文森证明，至少有34%的非平凡零点位于临界线上。这是一个比较显著的成果。而且，现在研究人员从分析和数值计算两方面着手，已经证明至少有40%的非平凡零点位于临界线上。但这也离证明黎曼猜想差得太远。

假如黎曼猜想被证明，互联网安全或受冲击

现在阿蒂亚宣布能证明黎曼猜想，就必然有其独到的见解和发现，是与非当然要留给专业人员来解读和判断。能否证明黎曼猜想固然非常重要，而且可能还会一直争论不休。但或许更重要的是，人们在证明黎曼猜想历程中的探索，以及这种探索的意义，无论最终能证明与否，都将显示不朽的价值。

具体到黎曼猜想，数学家的解释是，黎曼猜想与数论中的素数分布问题有密切关系，早期在证明黎曼猜想的过程中也证明了有关素数分布的一个重要命题——素数定理。素数定理在被证明之前，本身也是一个有着100多年历史的重要猜想。

更重要的是，黎曼猜想与其他数学命题之间有着千丝万缕的联系。迄今，已经有1000条以上的数学命题是建立在黎曼猜想基础之上，如果黎曼猜想被证明，则1000多条数学命题可以升级为定理，就像最基本的勾股定理一样;反之，如果黎曼猜想未被证明或证伪，那1000多条数学命题也可能全部是虚假。

证明黎曼猜想对其他学科具有重要的实用意义，如计算机和网络、物理学，甚至生物神经网络和人工智能。现在，最现实的意义是，如果黎曼猜想被证明，互联网和金融世界的安全，要么遭到毁灭，要么升级和找到更为安全的密钥。

黎曼在1859年提出黎曼猜想就是想解决素数之秘。现在，人们还没有发现素数的规律，因此素数被广泛应用在密码学上，以它作密钥，如果想破解，必须要进行大量运算，即使用最快的电子计算机，也会因求素数的过程时间太长而失去破解的意义。

现在，各大银行、金融机构、计算机公司，甚至军事机构、国家安全部门、保密机构、政府档案等都采用RSA公钥加密算法，这是基于一个简单的素数事实，将两个大质数相乘十分容易，但想要对其乘积进行因式分解却极其困难，因此可以将乘积公开作为加密密钥。

那么，黎曼猜想得到证实，基于大素数分解的非对称加密算法是否会走到尽头呢，公钥加密是否还能保密，从而影响金融、网络和国家安全呢?

不幸的是，还是两种相对的观点，一种认为公钥加密不会受到影响，即便受到影响，也会从黎曼猜想的证明找到新的安全保密方法;另一种则认为公钥加密将会被淘汰，信息时代也将步入泄密的不安全时代。

显然，向其他学科渗透和应用于多学科，就是黎曼猜想的最大的现实意义。

最近，数学界流传着一个爆炸性的大新闻。

英国著名数学家迈克尔·阿蒂亚(Sir Michael Francis Atiyah)爵士宣称用“简单”而“全新”的方法证明了黎曼猜想，将于9月24日在2018年度海德堡获奖者论坛上宣讲。迈克尔·阿蒂亚是菲尔兹奖和阿贝尔奖的双料得主，此言一出，引起不小轰动。

已89岁高龄的英国著名数学家迈克尔·阿蒂亚

黎曼猜想由德国著名数学家波恩哈德·黎曼在1859年提出，在此后的159年里，不少数学家为证明它而呕心沥血，但迄今并没有令人信服的结果。

德国著名数学家波恩哈德·黎曼

据说，美国数学家蒙哥马利曾有这番肺腑之言：“如果有魔鬼答应让数学家们用自己的灵魂来换取一个数学命题的证明，多数数学家想要换取的将会是黎曼猜想的证明。” 2000年，美国克莱数学研究所将黎曼猜想列为千禧年七大数学难题之一。

1929年出生的迈克尔·阿蒂亚今年已89岁高龄。他是否真的证明了屹立159年之久的黎曼猜想?有人相信，有人怀疑，有人说24日之后再做论断也不迟。

无论如何，黎曼猜想到底是个什么样的猜想?为何会让众多数学家为它痴狂?科技日报记者独家专访了曾著有《黎曼猜想漫谈》的知名科普作家卢昌海先生，和大家一起聊聊这个著名的数学难题。

科技日报：您可否用尽量简单易懂的语言介绍一下黎曼猜想?

卢昌海：黎曼猜想是关于一个被称为黎曼ζ函数的复变量函数的猜想。黎曼ζ函数跟许多其它函数一样，在某些点上取值为零，那些点被称为黎曼ζ函数的零点，其中特别重要的一部分零点被称为非平凡零点。黎曼猜想所“猜”的是：黎曼ζ函数的所有非平凡零点都分布在复平面上一条被称为“临界线”的特殊直线上。

科技日报：黎曼猜想为何在数学中拥有如此重要的地位?

卢昌海：黎曼是在一篇题为“论小于给定数值的素数个数”的论文中提出黎曼猜想的，这个起源显示了黎曼猜想的一个特点，那就是跟素数分布有着密切关系。

由于素数分布是数论中的重要课题，数论又是被德国数学家高斯称为“数学的皇后”的重要领域，这在一定程度上奠定了黎曼猜想的重要性。

更重要的则是，黎曼猜想跟诸多数学命题有着千丝万缕的联系——据统计，当今数学文献中有1,000条以上的数学命题是以黎曼猜想或其推广形式的成立为前提的。一个数学猜想与为数如此众多的数学命题的命运息息相关，在数学中是绝无仅有的。

黎曼函数

科技日报：黎曼猜想提出后，很多数学家尝试证明它，可否简要介绍一下其历程?

卢昌海：数学家证明黎曼猜想的尝试可粗分为分析与数值核验两大渠道。

在分析方面，最早的重要成果是将非平凡零点的分布确定到一个所谓的“临界带”上，这比“临界线”弱得多，却收获了一个重要的“副产品”——证明了本身就悬而未决百年以上的素数定理(这种在研究过程中能收获“副产品”的特点也是黎曼猜想重要性的组成部分)。

接下去则先是证明了有无穷多个非平凡零点分布在“临界线”上，继而又将那“无穷多个”具体化为百分比，目前这方面最佳的成果是证明了至少有41.28%的非平凡零点分布在“临界线”上。

在数值核验方面，目前的最佳成果是证实了前10万亿个非平凡零点无一例外地分布在“临界线”上。

科技日报：黎曼猜想为何在提出159年后仍未被证明，其难度何在?

卢昌海：这个老实说我也不知道。很多世界级的数学难题之所以博得艰深之名，是从大量一流数学家的努力未果中归纳出来的，至于难度何在，往往无法道明——也许，这本身也是难度的一部分吧。

科技日报：假如黎曼猜想被证明，对数学或其他领域有何重大影响?

卢昌海：如前所述，当今数学文献中有1,000条以上的数学命题是以黎曼猜想或其推广形式的成立为前提的。因此，黎曼猜想及其推广形式一旦被证明，数学中将史无前例地于“一夜间”新增1,000多条定理，这将对数学的面貌产生非同小可的影响。所有直接间接用到那些命题的领域也将程度不等地受到影响。

科技日报：最近有报道说，如果黎曼猜想被证明，现有的所有互联网加密方式都将不太安全，是这样吗?

卢昌海：我不曾留意到这样的报道。据说2005年的一部题为“头号嫌犯”的电视连续剧中有一集的剧情宣称了这种可能性，不知是否为报道之由来，但那只是电视连续剧。

现实地讲，虽然互联网的某些加密方式跟素数的性质有关，而黎曼猜想与素数的性质也有密切关系，但据我所知并没有哪一种互联网加密方式是以黎曼猜想的不成立为前提，从而会因黎曼猜想的成立而破灭的。

退一步说，哪怕有这样的加密方式，那它的破灭与否也只是依赖于黎曼猜想的成立与否，而非证明与否——证明只是对破灭的确认，并不缔造破灭的事实。

科技日报：还有报道认为，阿蒂亚爵士有可能借助量子力学来证明或证伪黎曼猜想，您怎么看?

卢昌海：有关阿蒂亚爵士试图以何种手段证明或证伪黎曼猜想，我们的线索很少。在那则简短声明中，除“简单”和“全新”这两个形容词外，就只有冯·诺依曼、希策布鲁赫和狄拉克这三个人名。

三人之中，冯·诺依曼和狄拉克两人对量子力学有过重要贡献。另一方面，阿蒂亚爵士过去十几年的研究颇为跨界，对粒子物理等领域投注了兴趣，而量子力学的某些东西——比如狄拉克方程等——在阿蒂亚爵士所擅长的几何领域也颇有应用。

从黎曼猜想本身来说，它所涉及的黎曼ζ函数的非平凡零点的分布跟某些特殊的量子体系确实存在着一些目前还很神秘的关联。将这些线索综合起来看，阿蒂亚爵士的证明尝试与量子力学有所交叠是完全可能的。真相究竟如何呢?好在9月24日就快到了。

(卢昌海2018年9月22日书面答复于纽约)

卢昌海简介

卢昌海，科普作家，出生于杭州，本科就读于复旦大学物理系，毕业后赴美留学，于2000年获美国哥伦比亚大学物理学博士学位，目前旅居纽约。

他著作的《黎曼猜想漫谈》曾获第七届吴大猷科学普及著作原创类金签奖。中科院院士、数学家王元在此书的读后感(代序)中评价：“文章关于数学的阐述是严谨的，数学概念是清晰的。文字流畅，并间夹了一些流传的故事以增加趣味性与可读性。从这几方面来看，都是一本很好的雅俗共赏的数学科普图书。”

此外卢昌海还著有《那颗星星不在星图上：寻找太阳系的疆界》《上下百亿年：太阳的故事》《从奇点到虫洞：广义相对论专题选讲》《霍金的派对：从科学天地道数码时代》等多部高端科普作品。

证明黎曼猜想有什么用

近日，菲尔兹奖和阿贝尔奖双料得主阿蒂亚爵士声明证明了久负盛名的黎曼猜想，引起了广泛关注。

阿蒂亚爵士的证明是否靠谱还有待数学界的确定，但是作为数学界最重要的猜想，黎曼猜想到底说了什么?又对世界有怎样的意义?

应广大吃瓜群众要求，大院er特别重发与黎曼猜想有关的文章。这一次，数学界是否将迎来一场激动人心的改变?让我们一起见证!

德国数学家黎曼(1826-1866，图片来源：维基百科)　　如果让一名优秀的数学家用灵魂去换取某一个数学问题的答案，那这个问题，大多数职业数学家都会同意，它就是大名鼎鼎的黎曼猜想。这个由德国数学家黎曼(Riemann)于1859提出的难题，已经困扰世人一个半世纪。这也是德国数学家希尔伯特(Hilbert)在1900年提出的23个问题中唯一悬而未决的重大问题。

黎曼猜想究竟有何神奇之处，竟让如此多的数学家为此痴迷和魂牵梦绕?在它那里，又藏着怎样惊世骇俗的秘密?破译这样一个难题，真的会给数学和世界带来激动人心的改变吗?

通往质数的征途

质数探索

在自然数序列中，质数就是那些只能被1和自身整除的整数，比如2，3，5，7，11等等都是质数。4，6，8，9等等都不是质数。由于每个自然数都可以唯一地分解成有限个质数的乘积，因此在某种程度上，质数构成了自然数体系的基石，就好比原子是物质世界的基础一样。

人们对质数的兴趣可以追溯到古希腊时期，彼时欧几里得用反证法证明了自然数中存在着无穷多个质数，但是对质数的分布规律却毫无头绪。随着研究的深入，人们愈发对行踪诡异的质数感到费解。这些特立独行的质数，在自然数的汪洋大海里不时抛头露面后，给千辛万苦抵达这里的人们留下惊叹后，又再次扬长而去。

1737年，瑞士的天才数学家欧拉(Euler)发表了欧拉乘积公式。在这个公式中，如鬼魅随性的质数不再肆意妄为，终于向人们展示出了其循规蹈矩的一面。

沿着欧拉开辟的这一战场，数学王子高斯(Gauss)和另一位数学大师勒让德(Legendre)深入研究了质数的分布规律，终于各自独立提出了石破天惊的质数定理。这一定理给出了质数在整个自然数中的大致分布概率，且和实际计算符合度很高。在和人们玩捉迷藏游戏两千多年后，质数终于露出了其漂亮的狐狸尾巴。

横空出世

虽然符合人们的期待，质数定理所预测的分布规律和实际情况仍然有偏差，且偏差情况时大时小，这一现象引起了黎曼的注意。

其时，年仅33岁的黎曼(Riemann)当选为德国柏林科学院通信院士。出于对柏林科学院所授予的崇高荣誉的回报，同时为了表达自己的感激之情，他将一篇论文献给了柏林科学院，论文的题目就是《论小于已知数的质数的个数》。在这篇文章里，黎曼阐述了质数的精确分布规律。

没有人能预料到，这篇短短8页的论文，蕴含着一代数学大师高屋建瓴的视野和智慧，以至今日，人们仍然为隐匿在其中的奥秘而苦苦思索。

黎曼Zeta函数

黎曼在文章里定义了一个函数，它被后世称为黎曼Zeta函数，Zeta函数是关于s的函数，其具体的定义就是自然数n的负s次方，对n从1到无穷求和。因此，黎曼Zeta函数就是一个无穷级数的求和。然而，遗憾的是，当且仅当复数s的实部大于1时，这个无穷级数的求和才能收敛(收敛在这里指级数的加和总数小于无穷)。

为了研究Zeta函数的性质，黎曼通过围道积分的方式对该函数做了一个解析延拓，将s存在的空间拓展为复数平面。

研究函数的重要性质之一就是对其零点有深刻的认识。零点就是那些使得函数的取值为零的数值集合。比如一元二次方程一般有两个零点，并且有相应的求根公式给出零点的具体表达式。

黎曼对解析延拓后的Zeta函数证明了其具有两类零点。其中一类是某个三角sin函数的周期零点，这被称为平凡零点;另一类是Zeta函数自身的零点，被称为非平凡零点。针对非平凡零点，黎曼提出了三个命题。

第一个命题，黎曼指出了非平凡零点的个数，且十分肯定其分布在实部大于0但是小于1的带状区域上。

第二个命题，黎曼提出所有非平凡零点都几乎全部位于实部等于1/2的直线上。

第三个命题，黎曼用十分谨慎的语气写到：很可能所有非平凡零点都全部位于实部等于1/2的直线上。这条线，从此被称为临界线。而最后这个命题，就是让后世数学家如痴如醉且寝食难安的黎曼猜想。

有人曾经问希尔伯特，如果500年后能重回人间，他最希望了解的事情是什么?希尔伯特回答说：我想知道，黎曼猜想解决了没有。美国数学家蒙哥马利(Montgomery)曾经也表示，如果有魔鬼答应让数学家们用自己的灵魂来换取一个数学命题的证明，多数数学家想要换取的将会是黎曼猜想的证明。黎曼猜想，俨然就是真理的宇宙里，数学家心目中那颗最璀璨的明星。

通往智力之巅

黎曼的三个命题

短短八页的论文里，黎曼给后人留下了卓绝非凡的智慧和思想，也为后世留下了魅力无穷的谜团。文章里的证明因为篇幅限制而多被省略，吝惜笔墨的黎曼却让身后数百年的数学大家费尽心思、相形见绌。这篇格局宏大、视野开阔的论文站在了时代的最前沿，其高瞻远瞩的目光和魄力直到今日仍然指引着主流数学界的方向。

在第一个命题的某一步证明里，黎曼用轻松的语气写道：这是不言而喻的普适性的结果。但就是这样一个似乎不值一提的结果，却花费了后人40年的时间苦苦探索。芬兰数学家梅林因为在这一小步上的贡献而名垂青史。此后，在黎曼眼中一笔带过的第一命题最终才由德国数学家蒙戈尔特(Mangoldt)在46年后给出完整的证明。

针对第二命题，黎曼用了相当肯定的语气指出其正确性。遗憾的是，他没有给出任何证明的线索，只是在与朋友的一封通信里提及：命题的证明还没有简化到可以发表的程度。然而黎曼毕竟高估了读者的能力，第二个命题犹如一座巍峨的大山压在了后世数学家的心中，直到今天也踹不过气来。一个半世纪过去了，人们还在为寻找第二命题的证明而陷入深思，似乎丝毫找不到破解它的希望。

更让人们绝望的是，黎曼在论及第三命题时，破天荒地没有使用肯定的语气，而是谨慎地说道：这很有可能是正确的结论。作为复变函数功彪千古的大师，黎曼此时也失去了信心，只能借助试探的口吻表达自己的观点。也正是这个让黎曼犹豫而止步的命题，终成了数学史上最为壮美险峻的奇峰。

有人曾经质疑黎曼是否真的证明了第一和第二命题，他随意写下的结论仅仅是重复法国数学家费马(Fermat)曾经的覆辙：把错误的想法当成了真理。

1637年，爱好数学的大法官费马在一本书的页边写下了他对一个问题的看法：他发现了一个简洁的证明，但是由于纸张太小无法写下来。这就是被后世称为费马猜想的问题，其完整的证明直到358年后的1995年才由英国数学家怀尔斯借助最艰深的现代工具所完成。

但是，人们很快打消了疑虑。从黎曼遗留下来的部分草稿来看，他的数学思想和功力已经远远超越同时代的数学家。即使是几十年后被陆续发现的手稿中体现出来的能力水平，也让当时的数学家难以望其项背。因此，人们有理由相信，这是一个伟大数学家的自信和坦然。

尽管黎曼猜想成立与否不得而知，数学家们还是倾向于它的正确性。一个半世纪以来，人们在假设黎曼猜想成立的情况下，以它作为基石，已经建立了一千多条定理，并且打造了无比辉煌的数论大厦。然而一旦黎曼猜想找到反例被证伪，这些精美的大楼就会如空中楼阁一样昙花一现，最终崩塌，给数论带来灾难性的结果。

质数分布规律

质数作为一类特殊的整数，任性而古怪，它们悄悄地隐藏在浩浩荡荡的自然数列里，以自己独有的奔放奏出魅力四射的音符。这曲神秘的质数音律，不知让多少追寻真理呼唤的人为之陶醉，为之倾注毕生精力，只为找到质数起舞的脚步和节拍。

遗憾的是，骄傲的质数们都是孤独的行者，在数千年的时光里静静地等待着能读懂它的真命天子。从欧拉(Euler)开始，人们终于得以在无边无际的整数世界里一瞥质数的浮光掠影。

黎曼(Riemann)一举揭示了质数最深处的秘密，优雅地给出了质数分布的精确表达式。人们第一次能够近距离窥视质数们在自然界跳舞的规律，是那样的豪放与不羁，平静时如温柔的月光洒在无波的大海，奔腾时又如滔天巨浪倾泻在一叶孤舟，让人爱恨交织、目驰神移。

然而，质数并不是完全随性而为，它的表现始终臣服在黎曼Zeta函数零点的分布规律上。因此，破译黎曼猜想就等于完全确定了质数跳舞的规律和秩序，无疑将开启数论中最激动人心的篇章。也因此，黎曼猜想成了无数人心目中梦想征服的珠穆朗玛峰。登上这座高峰的勇士，也将和历史上最伟大的名字连接在一起，成为后人敬仰和追随的英雄。

在黎曼的时代，质数定理虽然经由高斯(Gauss)和勒让德(Legendre)提出，但却是未经证实的猜想。它让最捉摸不定的质数在阳光下现出了踪迹。当时最杰出的数学大师也为此倾心，试图证明质数定理。

解决质数定理

在黎曼提出的第一个命题里，数学家很容易证明Zeta函数的零点位于实部不小于0，不大于1的带状区域上，但是无法排除实部等于0和1的两条直线。令人惊喜的是，人们很快发现如果能证明黎曼眼中显而易见的第一命题中的某一关键结论，则可以直接证明质数定理。

在黎曼提交论文的36年后，数学家哈达玛(Hadamard)等人不负众望，终于证明了该结论，也顺带解决了质数定理，从而完成了自高斯以来众多数学大师的心愿。

然而黎曼在第一命题里所轻松描述的全部结论，直到46年后的1905年才由蒙戈尔特(Mangoldt)完成。

黎曼猜想的一个小小命题里就蕴含着如此巨大的能量，自此以后，数学家把注意力都集中到了黎曼猜想的攻坚上来。

于是，1900年的巴黎，希尔伯特(Hilbert)代表数学界提出了23个影响深远的问题，黎曼猜想作为第8个问题的一部分而被世人所知。百年轮回，时至今日，23个问题中已经有19个确定解决，还有3个部分解决。黎曼猜想依然如巍峨的奇山，矗立在人类的智力巅峰之上。

鉴于黎曼猜想的巨大难度，人们无法一步征服如此雄伟的山峰，只能在山脚和山腰寻找攀登的线索。一批数学家另辟蹊径，不再驻足于寻求黎曼猜想的证明上，而是去计算黎曼猜想的零点。如果一旦发现某一个零点并不位于实部是0.5的直线上，这就等价于找到一个反例，从而证实黎曼猜想并不成立。

1903年，丹麦数学家第一次算出了前15个非平凡零点的具体数值。在黎曼猜想公布44年后，人们终于看到了零点的模样。毫无意外的是，这些零点的实部全部都是0.5。

1925年，李特尔伍德(Littlewood)和哈代(Hardy)改进了计算方法，算出前138个零点，这基本达到了人类计算能力的极限。

过于庞大的计算量，让后人放弃了继续寻找零点的努力。而为了选择更多的非平凡零点，人们还在黑暗中苦苦摸索。没想到，这一次，曙光来自于黎曼的遗稿。

待解之谜

数学家哈代(Hardy，1877年-1947年)，他证明了黎曼Zeta函数的零点的临界线，这是针对黎曼猜想的一个重大突破　　手稿里的智慧遗产

随着证明黎曼猜想的努力付诸东流，而计算零点的可能也趋于渺茫，数学家陷入了漫长的痛苦期，以至于他们终于开始怀疑黎曼猜想不过是他直觉的猜测，而并没有实际的计算证据。

黎曼时代的数学家喜欢发表他们认为已经成熟的学术成果，而对探索中的理论讳莫如深。因此，很多数学家公开发表的成果只是他们做研究的极小一部分，许多价值连城的远见并没有对外公布。

这方面，高斯(Gauss)是一个典型。在1898年公布的高斯科学日记里，人们才发现，他的很多思想和成果已经遥遥领先那个时代，但是却因为没有发表而让后世的数学家走了很多弯路。

比如，椭圆函数双周期性理论的结果直到100年后才被后人重新发现。同时，高斯也最早意识到了非欧几何的存在。这样的例子比比皆是。

人们只能从高斯的稿件和信件中去寻找那些依旧蒙尘却隐匿着科学巨匠光辉的成果。

因此，在黎曼猜想面前灰头土脸的数学家把目光投向了黎曼的手稿。遗憾的是，大部分凝聚黎曼心血和洞见的手稿在他去世后被管家付诸一炬，从此人们失去了近距离了解黎曼进行科学思考和创作的机会，也让他卓绝非凡的智慧结晶失去了传承。

黎曼的妻子侥幸抢救出了一小部分手稿，并把它赠送给了黎曼生前的好友戴德金。后来，她担心手稿里可能有黎曼与她的私人信件，又将大部分手稿索回。这些残留的珍贵手稿，最后经由戴德金献给了哥廷根大学图书馆。这也成了黎曼留给后人的珍贵遗产。

很多慕名前去的数学家希望从黎曼的手稿里得到启发，但是，这些手稿太过艰深晦涩，人们止步于此，无法读懂黎曼在天马行空的字里行间所展示出的才能。一代数学大师的遗物，在为将来破译它的人牢牢地守护着秘密。

零点计算的推进

1932年，德国数学家西格尔(Siegel)终于在历经两年的苦苦钻研后，从黎曼的手稿里找到了关键的证据。正是这一证据表明，黎曼对他提出的三个命题有过极其深刻的思考和计算。

西格尔在手稿里发现了黎曼当年随手写下的公式，这个公式今天被称为黎曼-西格尔公式。西格尔也因为让黎曼的公式重现天日而最终获得了菲尔兹奖。

有些数学家甚至认为：如果不是西格尔发现了这个公式，时至今日，它会像埋入沙漠深处的宝藏，再难被后人重新发现。西格尔写下这个公式的那天，距离黎曼在手稿里留下这份遗产已经过去了73年。

黎曼-西格尔公式很快发挥了其巨大的威力，基于这一公式，人们可以很轻松地继续推进零点的计算。

哈代(Hardy)的学生利用西格尔公式把非平凡零点的个数计算到了1041个，人工智能之父图灵推进到了1104个。此后的几十年，在计算机的辅助下，人们继续了零点计算的接力赛。

1966年，非平凡零点已经验证到了350万个。20年后，计算机已经能够算出Zeta函数前15亿个非平凡零点，这些零点无一例外地都满足黎曼猜想。2004年，这一记录达到了8500亿。最新的成果是法国团队用改进的算法，将黎曼Zeta函数的零点计算出了前10万亿个，仍然没有发现反例。

十万亿个饱含着激情和努力的证据再次坚定了人们对黎曼猜想的信心。然而，黎曼Zeta函数毕竟有无穷多个零点，十万亿和无穷大比起来，仍然只是沧海一粟。黎曼猜想的未来在哪里，人们一片茫然，不得而知。与此同时，试图证明黎曼猜想的人们也传来了佳音。

零点的临界线

英国数学家哈代首先证明Zeta函数的零点有无穷多个都位于实部是0.5的直线上。这是一个无比震惊的重大突破。在此之前，人们甚至不知道零点的个数是否有限，而哈代的结果则是直接告诉人们，零点的个数不仅是无穷的，而且还有无穷多个零点都位于这条临界线上。但是遗憾的是，人们并不知道临界线外是否存在非平凡零点。

随后，挪威数学家塞尔伯格(Selberg)证明了临界线上的零点个数占全部非平凡零点个数的比例大于零，这意味着临界线上的零点在全部零点的分布中举足轻重。

进一步，美国数学家莱文森(Levinson)引入了独特的方法，证明临界线的零点占全部零点的比例达到了34.74%。

基于莱文森的技巧，美国数学家康瑞(Conrey)在1989年把比例推进到了40%，这也是迄今为止得到的最好结果。

物理世界的奇遇

在理论和计算的突破猛进下，人们开始关注零点在临界线上的分布规律。

数学家蒙哥马利(Montgomery)发现零点分布的规律竟然和孪生质数对在数轴上的分布规律类似。受此启发，他写下了一个关联函数来描述这种规律。令人惊奇的是，该函数描述的理论结果和实际计算结果几乎完美地吻合。

蒙哥马利隐约觉得这背后隐藏着巨大的秘密，却又百思不得其解。带着这一疑问，他在1972年访问了普林斯顿高等研究院。

在下午茶的阶段，他偶遇了物理学家戴森(Dyson)。由于彼此研究领域的巨大差异，两人只是礼貌地寒暄了一下。戴森随口问问蒙哥马利研究的课题。他将心中的困惑全盘托出，这差点惊掉了戴森的下巴。原来，让蒙哥马利云里雾里的关联函数正是戴森研究二十年的成果——这不是别的，正是一类随机厄密矩阵本征值的对关联函数。这是一个描述多粒子系统在相互作用下，能级分布规律的函数。

一边是纯数学的黎曼猜想，它关乎的仅仅是一个Zeta函数非零点分布这样最纯碎的数学性质，揭示的是质数在自然数序列里优雅的舞姿和节奏。另一边，却是最现实的物理世界，它连接着量子体系、无序介质和神经网络等等经典的混沌系统。

理论和现实在这里交汇，在封闭的世界里独自发展了两千多年后，作为数学最主要的分支——数论终于将触角探及真实的时空。时至今日，人们对此呈现出的种种不可思议的关联仍然感到匪夷所思。

数学理论照进现实

进入二十一世纪，越来越多的数学理论成果开枝散叶，很多早期被认为无用之用的分支，今日早已经成为现代科技最强有力的工具，为现代科技的发展推波助澜。

曾经被人们束之高阁而偏安一隅的数学研究正化作人们手中的利器，在探索物质世界的途中披荆斩棘，更为人们提供越来越多的思想动力和创造的源泉。

微积分的诞生开启了牛顿机械宇宙观的宏伟时代。人们惊奇地发现：普天之下，莫非王土，原来物理世界并不神秘，也并无不同，即使隐匿在宇宙深空的天体，其运动的规律都臣服在人类制定的法则之下。自此之后，牛顿力学开始大放异彩，基于其原理所发明的蒸汽机和发动机更是直接点燃了第一次工业革命的烈火。

我们今日所享受的信息时代的文明，诸如电脑芯片和万维网都深深地受益于量子力学的发展。这门彻底改变人们生活的科学，却源自于很多数学基础理论的馈赠，从线性代数、矩阵分析、统计学起，到数学家们为了解决五次方程求解问题而发明的群论等等。

基于广义相对论，人们发明了突破地球引力约束的卫星。这使得天地通讯成为可能，也为深空探测、陆海导航打下了基础。人们日益频繁的出行，基于地理位置的GPS导航等等都在为我们的生活提供前所未有的便利。让爱因斯坦流芳千古的广义相对论，其数学原理正是非欧几何(特别是黎曼几何)和张量分析的应用。

自80年代末期，在物理理论中一枝独秀的弦论，因为其大胆和前卫的想法，深受彼时科学家的青睐。这个有望解决相对论和量子力学的大一统理论，已经逐渐在主流科学界激起千层巨浪。弦论蓬勃发展的道路上，我们不难看到微分几何坚定的背影。

2016年，三位物理学家分享了最高的荣誉——诺贝尔奖。他们因发现了物质拓扑相和在拓扑相变理论上的突出贡献而获奖。数学上艰深抽象的拓扑理论第一次也找到了用武之地。

物理学家用这个工具在理论上预测了一种特殊材质的存在，在它身上，人们能观测到匪夷所思的反常量子霍尔效应。基于该效应发现的材料，能够在常温下、无需超强磁场的协助就能自发在某个方向上呈现电阻为零的特性。这让计算机芯片的发展有了无限广袤的空间，从此量子计算机和微型超级计算机的梦想距离我们又近了一大步。

数论：待开垦之地

数学的各大分支都在默默地为前沿科学提供精妙绝伦的应用。遗憾的是，有一门分支陪伴人类走过漫漫两千多年真理探寻的艰辛旅途，却还在其封闭的理论王国里孤芳自赏。作为数学家们最悠久和最忠实的伙伴，不离不弃，它就是数论。

这个数学中最大的分支已经积累了无数深邃的理论成就，当今科技能受益于数论的成果不过就是隐秘在水下的冰山一角。人们都期待着，有朝一日，当冰山融化时，数论的硕果能惠及每一个后世子孙。破冰的希望，很可能就是处于群山之巅的黎曼猜想。

黎曼猜想，只是数论研究里万千瑰丽中的一朵。人们也期盼着，从它和现实世界那让人千丝万缕的关联中，能找到打开果园的钥匙，让世界从此弥漫着果实的芬芳。